把相交部分的贡献分为 $2$ 部分：属于子树的路径，和不属于子树的路径。

属于子树的路径，可以在 $\operatorname{lca}$ 处加上贡献，然后对于一条路径只用获取其各节点上该贡献即可统计。

不属于子树的路径，可以在 $\operatorname{lca}$ 之外加上贡献，然后对于一条路径只用获取其 $\operatorname{lca}$ 上该贡献即可统计。

我们假设一个节点的两部分贡献分别为 $a_p,b_p$。

从一个点开始往下的链的最大 $a$ 贡献为 $v_p$。

则

$$v_p=\max_s\{v_s+a_p\}$$ $$ans=\max\{b_p+a_p+v_{s_1}+v_{s_2}|p,s_1\neq s_2,s_1,s_2\text{ 可不存在}\} $$

容易构造 ddp：设 $f_p=\max\{\max_s\{f_s\},\max_{s_1\neq s_2}\{b_p+a_p+v_{s_1}+v_{s_2}\}\}$，分轻重儿子讨论即可。

要在每个节点处维护轻儿子的 $v$ 值的可删堆。

对 $a$ 的贡献修改是单点加，容易处理。

对 $b$ 的贡献修改我们套一个树上差分改为一路到根的修改，然后考虑怎么做。

我们的转移矩阵大概长成

$$\begin{bmatrix}0&u_p+a_p+b_p&\max\{w_p+a_p+b_p,f_{s_{\text{轻}}}\}\\-\infty&a_p&u_p+a_p\\-\infty&-\infty&0\end{bmatrix} $$

假如忽略掉 $f_{s_{\text{轻}}}$，要对 $b_p$ 进行链加，我们可以改写成

$$\begin{bmatrix}b_p&-\infty&-\infty\\-\infty&0&-\infty\\-\infty&-\infty&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&u_p+a_p&w_p+a_p\\-\infty&a_p&u_p+a_p\\-\infty&-\infty&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-b_p&-\infty&-\infty\\-\infty&0&-\infty\\-\infty&-\infty&0\end{bmatrix} $$

相邻的部分消除掉，区间加时相当于是在首尾引入了矩阵乘法，直接计算贡献即可。

然而不可忽略，因此我们直接把每个重链的 $f$ 插入另一个可删堆即可。

直接做复杂度即为 $O(n+q\log^2n)$ 的。

把树剖换成 GBT，对轻儿子按子树大小排序后用带权平衡树代替可删堆，复杂度应该是可以做到 $O(n+q\log n)$ 的？

参考代码。